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===== Complementos: a 1 y 2 =====

El complemento a 1  y a 2 de un número binario permiten la representación de números negativos. El método de  complemento  a  2  es comúnmente usado  por las computadoras  para  representar los negativos.

==== Complemento a 1 ====

El complemento a 1 de un número binario se obtiene representándolo primero en **SM**, es decir el bit más significativo, representa el signo y el resto de los bits la magnitud. Luego se procede de 2 formas distintas dependiendo del signo del valor a representar. El complemento a 1 **C<sub>(1)</sub>** de un valor es:

  * **Si el número a representar es positivo**: la representación queda igual que en signo magnitud. Por ejemplo si tenemos el número positivo 6<sub>(10)</sub> y debemos pasarlo a **C<sub>(1)</sub>**, quedaría asi:

{{ :complemento1.png?200 |}}


  * **Si el número a representar es negativo**: Se efectua el complemento dígito a dígito de la representación de la magnitud obtenida anteriormente. Veamos como representar en **C<sub>(1)</sub>** el número **-6<sub>(10)</sub>**:
Primero lo representamos en SM, como estamos usando 4 bits quedaría así
{{ :complemento1a.png?200 |}}
Luego complementamos los bits restantes

{{ :complemento1b.png?200 |}} El bit mas significativo, nos indica que el número es negativo. **-6**.

Analicemos otro ejemplo; pero ahora con 8 bits (1 byte), representemos el número -17<sub>10</sub> en C<sub>1</sub>. 

Paso 0 ) Como primer paso escribimos el número en SM:
{{ :complemento1c.png?270 |}}
Paso 1 ) Como el número a representar es negativo **(-17)**, complemento y queda así:
{{ :complemento1d.png?300 |}}

----

Ahora supongamos que tenemos un número que está en C<sub>1</sub>: **0011** ¿Cómo lo pasamos a SM?.

Paso 0) Si el número tiene en su bit más significativo un **0**, quiere decir que es positivo, entonces su representacion quedaría exactamente igual.
                           
{{:complemento1i.png?200 |}}  
\\                         

\\
\\
\\
Probemos otro número que está en C<sub>1</sub>: **11101100** ¿Cómo lo pasamos a SM o a binario?. **¡Lo volvemos a complementar a C<sub>1</sub>!**

Paso 0) Si el número tiene en su bit más significativo un **0**, quiere decir que es positivo, entonces su representacion quedaría exactamente igual. Este no es el caso ya el bit 7 tiene valor 1
{{ :complemento1e.png?300 |}}

Paso 1) Complemento para obtener el valor numérico en SM.
{{ :complemento1f.png?400 |}}

Pensemos ahora, en el rango de representación, dicho de otra forma, ¿Cuál es número más grande y el más chico que puedo representar con n bits?

Partamos de un ejemplo fácil con 4 bits

^C<sub>1</sub>   ^Decimal    ^
|  1000|    -7  |
|  1001|    -6  |
|  1010|    -5  |
|  1011|    -4  |
|  1100|    -3  |
|  1101|    -2  |
|  1110|    -1  |
|  1000|    -0  |
|  0000|     0  | 
|  0001|     1  |
|  0010|     2  |
|  0011|     3  |
|  0100|     4  |
|  0101|     5  |
|  0110|     6  |
|  0111|     7  |

Vemos que el 0 tiene doble representación, lo cual genera un problema. Veamos el rango de representación, seria así: **[ -(2<sup>4-1</sup>-1), 2<sup>4-1</sup>-1) ] --> (-7, 7)**

Generalizando para n bits:

''[ -(2<sup>n-1</sup>-1), 2<sup>n-1</sup>-1) ]''


----

==== Complemento a 2 ====

En la actualidad la representación más utilizada en las computadoras es complemento a dos. Sin embargo, primero estudiamos las otras representaciones dado que son más simples y sirven como una buena base para el
complemento a dos.

Veamos mediante ejemplos como pasar un número binario SM a **C<sub>2</sub>**

El complemento a 2 **C<sub>2</sub>** de un número binario se obtiene, primero lo pasamos a **C<sub>1</sub>** luego le sumamos 1, al bit menos significativo.

  * **Si el número a representar es positivo**: la representación queda igual que en signo magnitud. Por ejemplo si tenemos el número positivo 6<sub>(10)</sub> y debemos pasarlo a **C<sub>(2)</sub>**, quedaría asi:

{{ :complemento2.png?200 |}}

  * **Si el número a representar es negativo**: Se efectua el complemento dígito a dígito de la representación de la magnitud obtenida anteriormente. Veamos como representar en **C<sub>(2)</sub>** el número **-6<sub>(10)</sub>**:
Primero lo representamos en **SM**, luego en **C<sub>1</sub>** y para convertirlo finalmente a **C<sub>2</sub>**, le sumamos 1 al bit menos siginficativo. Como estamos usando 4 bits quedaría así

{{ :complemento2a.png?200 |}}
y ahora sumamos 1
{{ :complemento2b.png?250 |}}

Sigamos con más ejemplos, convirtamos por ejemplo con el número -74<sub>(10)</sub> a C<sub>2</sub> trabajando con 8 bits:

  * **Paso 0**) SM: Si el número tiene en su bit más significativo un **0**, quiere decir que es positivo, entonces su representacion quedaría exactamente igual. Este no es el caso **(11001010 SM)** ya el bit 7 tiene valor 1
{{ :complemento2c.png?300 |}}


  * **Paso 1**) Convertimos a C<sub>1</sub>
{{ :complemento2d.png?300 |}}

  * **Paso 2**) Convertimos a C<sub>2</sub> simplemente sumando 1 al bit menos significativo
{{ :complemento2e.png?300 |}}


----

Ahora supongamos que tenemos un número que está en **C<sub>2</sub>**: **10110110** ¿Cómo lo pasamos a SM?.
**¡Lo complementamos a 2!** 

  * Paso 0) Analizamos el signo del bit más significativo para saber si es negativo (1). Si no fuera asi la respresentación en C<sub>2</sub> quedaría igual

{{ :complemento2f.png?300 |}}

  * Paso 1) Complementamos C<sub>1</sub>
{{ :complemento2g.png?300 |}}
  * Paso 2) Sumamos 1 al bit menos significativo y nos queda el número en signo magnitud
{{ :complemento2h.png?350 |}}

Veamos el rango de representación, ¿Cuál es número más grande y el más chico que puedo representar con n bits?

Ejemplo fácil con 4 bits

^C<sub>2</sub>   ^Decimal    ^
|  1000|    -8  |
|  1001|    -7  |
|  1010|    -6  |
|  1011|    -5  |
|  1100|    -4  |
|  1101|    -3  |
|  1110|    -2  |
|  1111|    -1  |
|  0000|     0  | 
|  0001|     1  |
|  0010|     2  |
|  0011|     3  |
|  0100|     4  |
|  0101|     5  |
|  0110|     6  |
|  0111|     7  |

Ahora vemos que el 0 no presenta el problema de la doble representación de C<sub>1</sub> . Veamos el rango de representación, seria así: **[ -(2<sup>4-1</sup>), 2<sup>4-1</sup>-1) ] --> (-8, 7)**

Generalizando para n bits:

''[ -(2<sup>n-1</sup>), 2<sup>n-1</sup>-1) ]''



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==== Tabla Comparativa (representación en 4 bits) ====

{{ :complemento2i.png?550 |}} 


{{ :complemento2h2.png?600 |}}


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